V = S = P • Николай Авилов • Научно-популярные задачи на "Элементах" • Математика

V = S = P

Задача

Существует ли выпуклый многогранник, у которого совпадают числовые значения объема, площади поверхности и суммы длин всех ребер?


Подсказка

Такой многогранник существует, например, среди правильных призм.


Решение

Следуя подсказке, поищем подходящую призму. Правильная призма определяется числом n сторон многоугольника основания, стороной основания a и высотой h.

Сумма длин всех ее ребер равна:

\[P=2na+nh.\]

Поскольку многоугольник основания правильный, его площадь, как несложно найти, равна \(\frac14na^2\mathrm%\,\frac{\pi}n\). Теперь легко найти остальные фигурирующие в задаче параметры призмы.

Ее объем V равен:

\[V=\frac14na^2\mathrm%\,\frac{\pi}n \cdot h.\]

Площадь поверхности S равна:

\[S=\frac12na^2\mathrm%\,\frac{\pi}n +nah.\]

Из равенства V = S находим, что \(a\cdot\mathrm%\,\frac{\pi}n=\frac%{h-2}\). Значит, h > 2. Также можно переписать выражение для объема в виде \(V=\frac14na\cdot\frac%{h-2}\cdot h=\frac{nah^2}{h-2}\).

Из равенства V = P получаются соотношения \(a=\frac{h^2-2h}{h^2-2h+4}\) и

\(\mathrm%\,\frac{\pi}n=\frac%{a(h-2)}=\frac{4(h^2-2h+4)}{(h-2)^2}=4+\frac%{(h-2)^2}.\)

Ясно, что функция \(f(x)=\frac%{(x-2)^2}\) на промежутке \((0;\;{+\infty})\) принимает все положительные значения (и никакие другие). Поэтому необходимое и достаточное условие существования искомой призмы такое: выполнение неравенства \(\mathrm%\,\frac{\pi}n>4\), что верно при \(n>12\).


Послесловие

Посмотрим, что происходит в аналогичной ситуации на плоскости. Например, у квадрата 4×4 числовые значения площади и периметра совпадают. Таким же свойством обладают прямоугольник 3×6 и прямоугольный треугольник с катетами 5 и 12 (рис. 1).

Рис. 1.

Как известно, прямоугольник не является жесткой фигурой: если в его вершины поместить шарниры, то они не будут зафиксированы сами собой (как, например, происходит в случае треугольника или тетраэдра). Воспользовавшись этим, можно показать, что существует параллелограмм с равными значениями площади и периметра. Нетрудно найти прямоугольник, у которого площадь больше периметра: подойдет прямоугольник со сторонами 8 и 5. Если постепенно уменьшать один из прямых углов прямоугольника от 90° до 0°, то, во-первых, прямоугольник сразу превратится в параллелограмм, периметр остается равным 26, а во-вторых, его площадь непрерывно будет уменьшаться от 40 до 0, и в какой-то момент она станет равна 26. Это и будет нужный параллелограмм. Этот процесс показан на рамочной модели прямоугольника (рис. 2). Понятно, что таких параллелограммов бесконечно много.

Рис. 2.

Покажем, что существует бесконечно много треугольников, у которых числовые значения площади и периметра равны. Разобьем все треугольники на классы, в каждом из которых находятся все подобные друг другу треугольники. Оказывается, что в каждом таком классе есть треугольник, у которого числовые значения площади и периметра равны. Рассмотрим какой-нибудь один из треугольников какого-нибудь класса. Пусть его площадь равна S1, а периметр — P1, тогда подобный ему треугольник с коэффициентом k имеет площадь S2 = k2S1 и периметр P2 = kP1. Если в качестве коэффициента подобия взять k = P1/S1, то получим треугольник, у которого \(S_2=P_2=\frac{P_1^2}{S_1}\). Что и требовалось.

Для примера возьмем египетский треугольник. Его периметр \(P_1=3+4+5=12\), а площадь \(S_1=\frac12\cdot3\cdot4=6\). Подобный ему с коэффициентом подобия 2 треугольник будет обладать указанным свойством: это прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8 (рис. 3, слева). Можно рассмотреть и равносторонние треугольники. Среди них нужным свойством обладает треугольник со стороной \(4\sqrt%\): его площадь и периметр равны \(12\sqrt%\).

Рис. 3.

Рассуждая аналогично, можно показать, что в каждом классе подобных многоугольников существует такой, у которого числовые значения площади и периметра равны.

В трехмерном пространстве естественно добавить условие на равенство объема, как и было сделано в условии задачи. Из решения видно, что уже не каждый "тип" многогранника допускает равенство объема, площади поверхности и суммарной длины ребер: среди правильных n-угольных призм при n < 12 таких нет.

В частности, нет таких куба и прямоугольного параллелепипеда (потому что это четырехугольные призмы). Для таких многогранников, впрочем, легко сделать проверку "в лоб". Например, для куба это делается так. Куб с ребром a имеет объем V = a3, площадь поверхности S = 6a2 и сумму длин ребер P = 12a. Если S = P, то 6a2 = 12a, то есть a = 2. Но тогда S = P = 24, а V = 8.

Тем не менее для некоторых многогранников могут работать рассуждения, аналогичные тем, что были приведены для треугольника. Если рассматривать все многогранники, подобные данному, то сумма длин ребер будет меняться пропорционально первой степени коэффициента подобия, площадь поверхности — пропорционально второй степени, а объем — пропорционально третьей степени. То есть задача сводится к такому вопросу: пересекаются ли соответствующие прямая, парабола и кубика в одной точке? Изменение формы многогранника в такой формулировке соответствует сдвигам этих кривых на плоскости. И довольно очевидно, что в каких-то случаях их получится расположить так, чтобы они пересеклись в одной точке. Но вот можно ли как-то разумно описать все соответствующие многогранники?… Если у вас будут идеи на этот счет — пишите в комментариях к задаче!


Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: